กราฟของฟังก์ชันกําลังสอง

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง
ฟังก์ชันกำลังสอง คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป เมื่อ a,b,c เป็นจำนวนจริงใดๆ และ ลักษณะของกราฟของฟังก์ชันนี้ขึ้นอยู่กับค่าของ a , b และ c และเมื่อค่าของ a เป็นบวกหรือลบ จะทำให้ได้กราฟเป็นเส้นโค้งหงายหรือคว่ำ
ดังรูป อ่านเพิ่มเติม

ฟังก์ชัน

ในคณิตศาสตร์ ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ จาก เซต หนึ่ง (โดเมน) ไปยังอีกเซตหนึ่ง (โคโดเมน ไม่ใช่ เรนจ์) โดยที่สมาชิกตัวหน้าไม่ซ้ำกัน ความคิดรวบยอดของฟังก์ชันนี้เป็นพื้นฐานของทุกสาขาของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์เชิงปริมาณ อ่านเพิ่มเติม

ค่าสัมบูรณ์ของจํานวนจริง

นิยามได้ดังนี้: สำหรับจำนวนจริงใดๆ a, ค่าสัมบูรณ์ของ a เขียนแทนด้วย |a| เท่ากับ a ถ้า a ≥ 0 และเท่ากับ −a ถ้า a < 0 (ดูเพิ่มเติม: อสมการ) |a| จะไม่เป็นจำนวนลบ ค่าสัมบูรณ์จะเป็นจำนวนบวกหรือศูนย์เสมอ นั่นคือจะไม่มีค่า a ที่ |a| < 0
ค่าสัมบูรณ์สามารถถือว่าเป็นระยะทางของจำนวนนั้นจากศูนย์ สัญกรณ์ของระยะทางในคณิตศาสตร์มักเขียนในรูปค่าสัมบูรณ์อยู่เสมอ เมื่อจำนวนจริงถูกพิจารณาเหมือนเป็นเวกเตอร์หนึ่งมิติ ค่าสัมบูรณ์คือขนาด และ p-นอร์มสำหรับ p ใดๆ ที่ตัวประกอบคงที่ ทุกๆนอร์มใน R¹ จะเท่ากับค่าสัมบูรณ์: ||x||=||1||.|x|
อ่านเพิ่มเติม

การไม่เท่ากัน

บทนิยาม a < b หมายถึง a น้อยกว่า b
a > b หมายถึง a มากกว่า b

สมบัติของการไม่เท่ากัน

กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c

2. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c

3. จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ
a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0
a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0

4. สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์
ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc

5. สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b

6. สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ
ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b
ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b  อ่านเพิ่มเติม

พหุนาม

พหุนาม คือ นิพจน์สามารถเขียนในรูปเอกนามหรือสามารถเขียนในรูปการบวกของเอกนามตั้ง
แต่สองเอกนามขึ้นไป

การแยกตัวประกอบของพหุนาม

การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามนั้นในรูปของการคูณของพหุนามที่มีดีกรี     อ่านเพิ่มเติม

 

                                                        

การเท่ากันในระบบจํานวน

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติการสะท้อน a = a

2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a

3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc อ่านเพิ่มเติม

สมบัติการบวก ลบ คูณ หาร จํานวนจริง

สมบัติของจำนวนจริง คือ การนำจำนวนจริงใด ๆ มากระทำต่อกันในลักษณะ เช่น

การบวก การลบ การคูณ การหาร หรือกระทำด้วยลักษณะพิเศษที่กำหนดขึ้น แล้วมีผลลัพธ์ที่
เกิดขึ้นในลักษณะหรือทำนองเดียวกัน สมบัติที่ใช้ในการบวก การลบ การคูณ และการหาร มีดังนี้ อ่านเพิ่มเติม

จำนวนจริง

มีหลักเกณฑ์ในการแบ่งจำนวนจริงอยู่หลายเกณฑ์ เช่น จำนวนตรรกยะ หรือ จำนวนอตรรกยะ; จำนวนพีชคณิต (algebraic number) หรือ จำนวนอดิศัย; และ จำนวนบวก จำนวนลบ หรือ ศูนย์
จำนวนจริงแทนปริมาณที่ต่อเนื่องกัน โดยทฤษฎีอาจแทนได้ด้วยทศนิยมไม่รู้จบ และมักจะเขียนในรูปเช่น 324.823211247… จุดสามจุด ระบุว่ายังมีหลักต่อๆไปอีก ไม่ว่าจะยาวเพียงใดก็ตาม อ่านเพิ่มเติม

การให้เหตุผลแบบนิรนัย

การให้เหตุผลแบบนิรนัยเป็นการนำความรู้พื้นฐานซึ่งอาจเป็นความเชื่อ ข้อตกลง กฎ หรือบทนิยาม ซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อน และยอมรับว่าเป็นความจริงเพื่อหาเหตุผลนำไปสู่ข้อสรุป เป็นการอ้างเหตุผลที่มีข้อสรุปตามเนื้อหาสาระที่อยู่ภายในขอบเขตของข้ออ้างที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 1 เหตุ 1.สัตว์เลี้ยงทุกตัวเป็นสัตว์ไม่ดุร้าย

2. แมวทุกตัวเป็นสัตว์เลี้ยง

ผล แมวทุกตัวเป็นสัตว์ไม่ดุร้าย

    อ่านเพิ่มเติม

การให้เหตุผลแบบอุปนัย

การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นวิธีการสรุปผลมาจากการค้นหาความจริงจากการสังเกตหรือการทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อยๆ แล้วนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป

การหาข้อสรุปหรือความจริงโดยใช้วิธีการให้เหตุผลแบบอุปนัยนั้น ไม่จำเป็นต้องถูกต้องทุกครั้ง เนื่องจากการให้เหตุผลแบบอุปนัยเป็นการสรุปผลเกิดจากหลักฐานข้อเท็จจริงที่มีอยู่ ดังนั้นข้อสรุปจะเชื่อถือได้มากน้อยเพียงใดนั้นขึ้นอยู่กับลักษณะของข้อมูล หลักฐานและข้อเท็จจริงที่นำมาอ้างซึ่งได้แก่   อ่านเพิ่มเติม

 

สับเซต และ เพาเวอร์เซต

สมบัติของสับเซต

1) A ⊂ A (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง)
2) A ⊂ U (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)
3) ø ⊂ A (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)
4) ถ้า A ⊂ ø แล้ว A = ø
5) ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C (สมบัติการถ่ายทอด)
6) A = B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ B ⊂ A
7) ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2ⁿ สับเซต
อ่านเพิ่มเติม

เอกภพสัมพัทธ์

เอกภพสัมพัทธ์
เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ถูกกำหนดขึ้นโดยมีข้อตกลงว่า จะกล่าวถึงสิ่งที่เป็นสมาชิกของเซตนี้เท่านั้น จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นใดที่ไม่เป็นสมาชิกของเซตนี้ โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ แทนเซตที่เป็นเอกภพสัมพัทธ์ อ่านเพิ่มเติม

เซต

ใช้แทนกลุ่มของคน,สัตว์,สิ่งของ หรือสิ่งที่เราสนใจ เราใช้เครื่องหมายปีกกา“{ } ”
แสดงความเป็นเซต และสิ่งที่อยู่ภายในปีกกา เราเรียกสมาชิกของเซต
เซตที่เท่ากัน
เซต 2 เซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อจำนวนสมาชิกและสมาชิกของทั้ง 2 เซต เหมือนกันทุกตัว
เช่น A={1,2,3} B={1,2,3} จะได้ A=B
เซตที่เทียบเท่ากัน  อ่านเพิ่มเติม

โดเมนและเรนจ์

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์(Domain and Range)
ให้r1 = (1, 2), (4, 5), (3, 8), (6, 12)
เซตของสมาชิกตัวหน้าในคู่อันดับ r1 คือ 1, 3, 4, 6 เรียกเซตนีÊว่า โดเมน (Domain) ของ r1
เซตของสมาชิกตัวหลังในคู่อันดับ r1 คือ 2, 5, 8, 12 เรียกเซตนีÊว่า เรนจ์(Range) ของ r1
บทนิ ยาม ให้ r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B
โดเมน (Domain) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตทีÉมีสมาชิกเป็นสมาชิก
ตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์r เขียนแทนด้วย Dr
ดังนัÊน Dr = x  (x, y)  r
เรนจ์(Range) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตทีÉมีสมาชิกเป็นสมาชิกตัว
หน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย Rr
ดังนัÊน Rr = y  (x, y)  r
ตัวอย่างทีÉ 1 ให้A = 1, 2, 3, 4, 5 และ r = (x, y)  y = x
2
, x  A
จงเขียนความสัมพันธ์r ในแบบแจกแจงสมาชิก และหาโดเมนและเรนจ์ของ r
วิธีทํา จะได้ r = (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25)
Dr = 1, 2, 3, 4, 5
Rr = 1, 4, 9, 16, 25
หลักการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์เมืÉอกําหนดความสัมพันธ์ r แบบบอกเงืÉอนไข
1. เมืÉอต้องการหาโดเมน ให้จัดสมการให้อยู่ในรูป y = f(x) นัÉนคือ จัด y ในเทอมของ x แล้ว
พิจารณาค่า x ทัÊงหมดทีÉทําให้ค่า y เป็นจริง
2. เมืÉอต้องการหาเรนจ์ ให้จัดสมการให้อยู่ในรูป x = f(y) นัÉนคือ จัด x ในเทอมของ y แล้ว
พิจารณาค่า y ทัÊงหมดทีÉทําให้ค่า x เป็นจริง